Rappels
Théorème
La limite d’une fonction polynôme, quand la variable tend vers +∞ ou vers −∞, est la même que celle de son monôme de plus haut degré :
P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0ouan≠0 lim
La limite d’une fonction rationnelle, quand la variable tend vers +\infty ou vers -\infty, est la même que celle du quotient des monômes de plus haut degré :
R(x) = \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0}{b_p x^p + \dots + b_1 x + b_0} \quad \text{ou} \quad a_n, b_p \neq 0 \lim_{x \to +\infty} R(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{a_n x^n}{b_p x^p}
Continuité en un point
On suppose que f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I .
- On dit que f est continue en x_0 de I si et seulement si \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
- On dit que f est continue à droite en x_0 si et seulement si \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)
- On dit que f est continue à gauche en x_0 si et seulement si \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)
- On dit que f est continue en x_0 si elle est continue à gauche et à droite en x_0 .
Continuité sur un intervalle
On suppose que f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I .
- On dit que f est continue sur I si elle est continue en tous ses points.
- On dit que la fonction f est continue sur l’intervalle fermé [a, b] si elle est continue sur l’ouvert [a, b[, continue à droite en a et à gauche en b .
- Si f et g sont continues sur le même intervalle I , alors les fonctions f + g , f - g et f \cdot g sont continues sur I .
- Si f et g sont continues sur le même intervalle I et si en plus g ne s’annule pas sur I , alors les fonctions \frac{1}{g} et \frac{f}{g} sont continues sur I .
- Si f est continue et positive sur un intervalle I , alors \sqrt{f} est continue sur I .
Limite et continuité d'une fonction composée
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur I et J telles que pour tout x \in I , on a f(x) \in J . La fonction qui à tout réel x associe le réel g(f(x)) est appelée la composée de f par g . On lit : g \circ f .
Soit x_0 un élément de I . Si f est continue en x_0 et si g est continue en f(x_0) , alors g \circ f est continue en x_0 .
Si \lim_{x \to x_0} f(x) = l et \lim_{x \to l} g(x) = l', alors \lim_{x \to x_0} (g \circ f)(x) = l'
( x_0, l, l' peuvent être finis ou infinis)
Limites et ordre
Soit f , g et h trois fonctions définies sur un intervalle ouvert I , sauf peut-être en un réel x_0 et un réel l .
1. Cas de limite simple
On suppose que \lim_{x \to x_0} f(x) = l.
2. Théorème de comparaison
Si \forall x \in I \setminus \{x_0\} , on a f(x) \geq g(x) et \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty, alors \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty
Si \forall x \in I \setminus \{x_0\} , on a f(x) \leq g(x) et \lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty, alors \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty
3. Théorème des Gendarmes
Si \forall x \in I \setminus \{x_0\} , on a : g(x) \leq f(x) \leq h(x) et si \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l alors \lim_{x \to x_0} f(x) = l
Le résultat du théorème reste vrai lorsque x tend vers x_0^+ , x_0^- , +\infty ou -\infty .
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I . Soit a et b deux réels de I tels que a < b . Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) , l'équation f(x) = k possède au moins une solution dans l'intervalle [a, b].
Corollaire
Soit f une fonction définie et continue et strictement monotone (strictement croissante ou bien strictement décroissante) sur un intervalle [a, b] alors :
Images d'intervalles par une fonction strictement monotone
Dans ce qui suit, a et b sont deux réels et f une fonction définie sur l'intervalle I .
| f(I) | f est strictement croissante sur I | f est strictement décroissante sur I |
|---|---|---|
| f([a, b]) | f([a, b]) = [f(a), f(b)] | f([a, b]) = [f(b), f(a)] |
| f([a, b]) | f([a, b]) = [f(a), f(b)] | f([a, b]) = [f(b), f(a)] |
| f(a, b] | f(a, b] = ]f(a), f(b)] | f(a, b] = ]f(b), f(a)] |
| f([a, b[) | f([a, b[) = [f(a), f(b)[ | f([a, b[) = [f(b), f(a)[ |
| f(]a, b[) | f(]a, b[) = ]f(a), f(b)[ | f(]a, b[) = ]f(b), f(a)[ |
| f([a, +\infty[) | f([a, +\infty[) = [f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ | f([a, +\infty[) = [\lim_{x \to +\infty} f(x), f(a)[ |
| f(]a, +\infty[) | f(]a, +\infty[) = ]f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ | f(]a, +\infty[) = ]\lim_{x \to +\infty} f(x), f(a)[ |
| f(]-\infty, b]) | f(]-\infty, b]) = [\lim_{x \to -\infty} f(x), f(b)] | f(]-\infty, b]) = [f(b), \lim_{x \to -\infty} f(x)] |
| f(]-\infty, b[) | f(]-\infty, b[) = [\lim_{x \to -\infty} f(x), f(b)[ | f(]-\infty, b[) = [f(b), \lim_{x \to -\infty} f(x)[ |
| f(\mathbb{R}) | f(\mathbb{R}) = [\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)] | f(\mathbb{R}) = [\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x)] |
Remarque
L'image d'un intervalle par une fonction strictement monotone est un intervalle de même nature.
Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R} . On dit que f réalise une bijection de I sur J = f(I) si pour tout réel y de J , l'équation f(x) = y admet une unique solution dans I .
Théorème
Si f est une fonction strictement monotone sur un intervalle I , alors f réalise une bijection de I sur f(I) = J .
Définition
Soit f une bijection d'un intervalle I sur f(I) = J . On appelle fonction réciproque de f et on note f^{-1} la fonction définie sur J qui à tout réel y de J associe l'unique solution dans I de l'équation f(x) = y .
Conséquence
Soit f une bijection d'un intervalle I sur f(I) = J et f^{-1} sa fonction réciproque. Pour tout x de I et tout y de f(I) ,
- f(x) = y si et seulement si f^{-1}(y) = x
- f^{-1} \circ f(x) = x pour tout x de I et f \circ f^{-1}(y) = y pour tout y de f(I) = J
Théorème
Si f est une fonction strictement monotone sur un intervalle I , alors on a :
Limites et comportement asymptotique
Branches paraboliques d'une courbe de direction (O, \vec{i})
✿ Si \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty et \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 alors la courbe (C_f) admet en \pm \infty une branche parabolique de direction celle de l'axe des abscisses. (O, \vec{i}) .
Branches paraboliques d'une courbe de direction (O, \vec{j})
✿ Si \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty et \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty alors la courbe (C_f) admet en \pm \infty une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées. (O, \vec{j}) .
Asymptotes parallèles aux axes du repère
✿ On dit que la droite \Delta : x = a est une asymptote à la courbe (C_f) dans l’un des cas suivants :
- \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty ou \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty
✿ On dit que la droite \Delta : y = b est une asymptote à la courbe (C_f) lorsque : \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b .
Exercices corrigés sur Limites et Continuité 2 Bac
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