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Limites et Continuité: Exercices Corrigés 2ème Bac
Limites et Continuité: Exercices Corrigés 2ème Bac

Limites et Continuité: Exercices Corrigés 2ème Bac

Dans cet article, nous vous proposons une série d'exercices corrigés sur les limites et la continuité en PDF. Ces exercices sont conçus pour aider les élèves à maîtriser ces concepts fondamentaux des mathématiques, que ce soit pour le Bac ou pour les classes préparatoires.

Exercise 1 : Limites de la fonction linéaire

Énoncé

Soit la fonction f(x)=3x−4.

  1. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers 1.
  2. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞.

Indication

▼
  1. Pour la limite de f(x) quand x tend vers 1, calculez f(1).
  2. Pour la limite de f(x) quand x tend vers +∞, examinez le terme 3x dans f(x)=3x−4.

Solution

▼
  1. La fonction f(x)=3x−4 est une fonction linéaire, donc :

    2. limx→1f(x)=f(1)=3⋅1−4=−1.

  2. Pour x→+∞ :

    3. limx→+∞f(x)=limx→+∞(3x−4)=+∞.

Exercice 2 : Limites et continuité de la fonction rationnelle

Énoncé

Soit la fonction g(x)=x2−1x−1.

  1. Déterminer la limite de g(x) lorsque x tend vers 1.
  2. Déterminer la continuité de la fonction en x=1.

Indication

▼
  1. Pour déterminer la limite de g(x) lorsque x tend vers 1, il faut d'abord vérifier si g(1) est défini. Puis, simplifiez l'expression g(x)=x2−1x−1 en factorisant le numérateur.
  2. Pour étudier la continuité de g en x=1, vérifiez si limx→1g(x)=g(1). Si ces deux valeurs sont égales, la fonction est continue en ce point.

Solution

▼
  1. On simplifie l'expression :

    2. g(x)=(x−1)(x+1)x−1=x+1 pour x≠1.

    Donc :

    limx→1g(x)=limx→1(x+1)=2.

  2. La fonction n'est pas définie en x=1, mais on peut étendre la fonction pour la rendre continue en définissant :

    3. g(1)=2.

Exercice 3 : Limites et continuité de la fonction sinus

Énoncé

Soit la fonction h(x)=sin(x)x.

  1. Déterminer la limite de h(x) lorsque x tend vers 0.
  2. Vérifier la continuité en x=0 en définissant la fonction de manière appropriée.

Indication

▼
  • Pour déterminer la limite de h(x) lorsque x tend vers 0, utilisez le fait que limx→0sin(x)x=1. Vous pouvez justifier cela par le développement de Taylor ou par l'utilisation de la règle de l'Hôpital.
  • Pour vérifier la continuité en x=0, définissez la fonction h(0) de manière appropriée, par exemple, en posant h(0)=1. Ensuite, vérifiez si limx→0h(x)=h(0). Si c'est le cas, la fonction est continue en x=0.

    • Solution

    ▼
    1. Pour x→0 :

      2. limx→0sin(x)x=1.

    2. On peut définir h(0)=1 pour rendre la fonction continue :

      3. h(x)={sin(x)xsi x≠0,1si x=0.

    Exercice 4 : Limites et comportement de la fonction rationnelle

    Énoncé

    Soit la fonction k(x)=1x2−4.

    1. Déterminer les limites lorsque x tend vers 2 et -2.
    2. Décrire le comportement de la fonction autour de ces points.

    Indication

    ▼
  • Pour déterminer les limites de k(x) lorsque x tend vers 2 et -2, analysez la fonction k(x)=1x2−4. Remarquez que le dénominateur s'annule pour x=2 et x=−2. Calculez les limites :
    • Pour limx→2k(x), étudiez la limite par la gauche (x→2−) et par la droite (x→2+).
    • Pour limx→−2k(x), procédez de même.
  • Pour décrire le comportement de la fonction autour de x=2 et x=−2, utilisez les résultats des limites précédentes. Indiquez si la fonction présente des asymptotes verticales à ces points et commentez le comportement de k(x) lorsque x s'approche de ces valeurs (tend vers +∞ ou −∞).

    • Solution

    ▼
    1. Pour x→2 :

      2. limx→21x2−4=14−4=10,

      ce qui tend vers +∞ ou −∞, selon le sens de la tendance de x. De même :

      limx→−21x2−4=1(−2)2−4=10,

      ce qui tend aussi vers +∞ ou −∞.

    2. La fonction a des asymptotes verticales en x=2 et x=−2.

    Exercice 5 : Limites de la fonction racine carrée

    Énoncé

    Soit la fonction f(x)=√x2+1.

    1. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞.
    2. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers −∞.

    Indication

    ▼
    1. Pour x→+∞, on a : f(x)=√x2+1≈√x2=x⟹limx→+∞f(x)=+∞.
    2. Pour x→−∞, on a : f(x)=√x2+1≈√x2=−x⟹limx→−∞f(x)=+∞.

    Solution

    ▼
    1. Pour x→+∞ :

      2. limx→+∞√x2+1=limx→+∞√x2(1+1x2)=limx→+∞|x|√1+1x2=+∞.

    2. Pour x→−∞ :

      3. limx→−∞√x2+1=limx→−∞√x2(1+1x2)=limx→−∞(−x)√1+1x2=+∞.


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