LexMath

Exercice 1 : Domaine de définition des fonctions Énoncé Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : \( f(x) = 3x^2 - \sqrt{x + 1} \) \( f(x) = \frac{1}{x^2 - \sqrt{x^2 - 4}} \) \( f(x) = \frac{2x - 3}{x} \) \( f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2} \) \( f(x) = \sqrt{2x^2 - 3x + 1} \) \( f(x) = \frac{2}{x - 2} \) \( f(x) = \frac{\sqrt{2x - 3}}{\tan x} \) \( f(x) = \tan x \) \( f(x) = \sin x \) \( f(x) = \cos x \) Indication Identifiez les contraintes sur \( x \) en fonction du type d'expression (fraction, racine carrée, fonction trigonométrique). Pour les fractions, déterminez les valeurs interdites pour le dénominateur. Pour les racines carrées, assurez-vous que l'expression sous la racine est positive ou nulle. ...

Exercice 01 : Calculs trigonométriques Énoncé Calculer cos \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\), sin \(\left(\frac{\pi}{3}\right)\), tan \(\left(\frac{3\pi}{4}\right)\). Présenter sur un cercle trigonométrique les points \(M\) \(\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)\) tel que \(M \in \mathbb{Z}\). Montrer que les mesures des angles \(\dfrac{\pi}{5}\), \(\dfrac{2\pi}{5}\) et \(\dfrac{3\pi}{5}\) sont des mesures de même angle. Indication Utiliser les valeurs connues des fonctions trigonométriques sur le cercle unitaire. Représenter le point \(M\) sur le cercle trigonométrique et identifier sa position. Comparer les mesures des angles en utilisant les propriétés des angles inscrits dans un cercle. Corrigée \begin{align*} \cos\left(...

Exercice 01 : Résolution d'équations Énoncé Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les équations suivantes : \( 5x - 4 = 2x - 3 \) \( 3(2x + 5) = 6 - x \) \( 4x^2 - 25 = -9 \) \( (5x - 1)^2 = (x + 4) \) \( 7 - 2x = 4x - 3 \) \( 6x - 1 = 2x - 5 \) \( -x + 3 = 2 - x \) \( -2(x - 3) = 2 \) \( 2x - 6 = -x + 3 \) \( 5 - x = 2 - x \) \( 3x + 3 = 2x - 1 \) \( |x - 2| = 3 \) \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) \( 2x + 1 = 3 - 2x \) \( x^2 + 2 = 0 \) Indication Pour chaque équation, isolez \( x \) d'un côté. Pour les équations avec des valeurs absolues, considérez les deux cas. Corrigée \( x = \frac{1}{3} \) \( x = \frac{1}{3} \) \( x = 4 \) ou \( x = -4 \) \( x = 5 \) ou \( x = -3 \) \( x = 1 \) \( x = \frac{2}{3} \) \( x = 1...

Exercice 01 : Vecteurs et distances Énoncé On considère les points suivants : \( A(1; 3) \), \( B(-1; 2) \) et \( C(-2; -1) \). Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : \[ \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{BC}. \] Calculer les distances suivantes : \[ AB, \quad AC, \quad BC. \] Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : \[ 2 \overrightarrow{AB} - 3 \overrightarrow{BC}. \] Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : \[ 2 \overrightarrow{AB} + (-3) \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}. \] Déterminer les coordonnées du point \( I \), milieu du segment \( [AB] \). Soient \( \overrightarrow{u}(3x + 1; 2) \) et \( \overrightarrow{v}(4; y - 3) \) deux vecteurs. Déterminer \( x \) et \( y \) pour que \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} \). ...

Exercice 01 : Alignement de points dans un triangle Énoncé Soit \( ABC \) un triangle et soient \( I, J \) et \( K \) les points définis par : \[ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{AJ} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AK} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC}. \] Tracer une figure. Montrer que : \[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AJ} - \overrightarrow{AI} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{JK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AJ} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}. \] Déduire que les points \( I, J \) et \( K \) sont alignés. Indication Exprimez clairement \( \overrightarrow{AI} \) en fonction des vecteurs de base. Reformulez \( \overrightarrow{IJ} \) et \( \overrightarrow{JK} \) pour observer une relation de proportionnalité. ...