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Définition d’un Polynôme Activité Considérons un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont \(x\), \(x + 3\), et \(x + 5\) avec \(x > 0\). Soit \(V(x)\) le volume du parallélépipède. Montrez que \(V(x) = x^3 + 8x^2 + 15x\). Calculez \(V(1)\) et \(V(2)\). Quelles opérations avez-vous utilisées pour effectuer ces calculs ? Vocabulaire L’expression \(V(x) = x^3 + 8x^2 + 15x\) est appelée polynôme de degré 3 . On note \(\deg(V) = 3\). Les réels \(1, 8, 15, 0\) sont les coefficients du polynôme \(V(x)\). \(8x^2\) est un monôme de degré 2 avec un coefficient égal à 8. \(x^3\) est un monôme de degré 3 avec un coefficient égal à 1. Monômes Définitions et Exemples Un monôme de la variable \(x\) est une expression de la forme \(ax^n\) où \(a \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\). \(a\) est appelé le coefficient et \(n\) le degré . Exemples : \(4x^3\)...

Les équations, inéquations, et systèmes d'équations sont des outils fondamentaux en mathématiques. Ils permettent de modéliser des situations réelles et de trouver des solutions à des problèmes variés. I. Équation du premier degré à une inconnue Rappel Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes : \[ (1) \quad 2x + 3 = 0 \] Donc : \[ 2x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2} \] Solution de l'équation : \(x = -\frac{3}{2}\) \[ (2) \quad 3x - 4 = 2 \] Donc : \[ 3x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Solution de l'équation : \(x = 2\) \[ (3) \quad 4x + 1 = 3 \] Donc : \[ 4x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \] Solution de l'équation : \(x = \frac{1}{2}\) \[ (4) \quad \frac{3}{4}x - \frac{1}{2} = 0 \] Donc : \[ \frac{3}{4}x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{3} \] Solution de l'équation :...

Bienvenue sur LexMath.com ! Ce document PDF vous propose un ensemble d'exercices corrigés sur les généralités des fonctions pour les élèves de 1ère Bac. voici la solution des exercices du-dessous Exercise 1 Énoncé Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : \( f(x) = \frac{x + 8}{x^2 - 1} \) \( f(x) = \frac{3x^3 + x^2 - 1}{x^2 - 6x + 5} \) \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x - 2} \) \( f(x) = \sqrt{(x - 1)(x - 5)} \) \( f(x) = x + \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x} \) \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1} \) \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} \) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 1} + \sqrt{x^2 + 1} \) Solution ▼ Le domaine de définition de \( f(x) = \frac{x + 8}{x^2 - 1} \) est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \). Pour \( f(x) = \frac{3x^3 + x^2 - 1}{x^2 - 6x + 5...

La trigonométrie est l'étude des relations entre les angles et les longueurs des côtés dans les triangles. Cette branche des mathématiques est essentielle pour comprendre et résoudre des problèmes liés aux mesures angulaires et aux longueurs dans divers contextes scientifiques. Les fonctions trigonométriques sont particulièrement importantes dans les domaines de la physique, de l'astronomie, et de l'ingénierie. Fonctions Trigonométriques de Base Définitions Considérons un angle \( \theta \) dans un triangle rectangle. Les fonctions trigonométriques de base sont définies comme suit : Fonction Définition Formule Sinus Rapport entre la longueur du côté opposé à l'angle \( \theta \) et la longueur de l'hypo...

Bienvenue sur LexMath.com ! Dans ce document PDF, nous explorons en détail le concept de produit scalaire et ses applications, spécialement conçu pour les élèves de 1ère Bac. Ce cours comprend des explications complètes, des exemples pratiques, et des exercices corrigés pour maîtriser cette notion essentielle en mathématiques. Le produit scalaire, aussi appelé produit intérieur, est une opération fondamentale en géométrie et en algèbre linéaire. Il est utilisé pour calculer l'angle entre deux vecteurs, déterminer leur projection l'un sur l'autre, et vérifier leur orthogonalité. Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans un espace euclidien, le produit scalaire est défini par : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\theta) \) où \(\theta\) est l'angle entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Définition et Propriétés du Produit Scalaire Définition Pour deux ve...

Les logarithmes permettent de résoudre les équations exponentielles et sont essentiels dans divers domaines des mathématiques et des sciences. La fonction logarithme népérienne Définition La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction \( x \mapsto \frac{1}{x} \) sur l'intervalle \( ]0; +\infty[ \) qui s'annule en \( 1 \) et note \( \ln \). Propriétés et Conséquences L' ensemble de définition de \( \ln \) est : \( D_n = ]0; +\infty[ \). \( \ln(1) = 0 \) et \( e^0 = 1 \). Soit \( f(x) = \ln(x) \) alors \( f'(x) = \frac{1}{x} \). La fonction \( \ln \) est continue et strictement croissante sur \( ]0; +\infty[ \). La fonction \( \ln \) est définie par : \[ \ln x = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt \quad \text{pour } x > 0. \] Propriétés algébriques Pour tout \( a \in ]0; +\infty[ \) et pour tout \( b \in ]0; +\in...

Bienvenue sur LexMath.com ! Nous sommes ravis de vous présenter notre cours complet sur les fonctions exponentielles , spécialement conçu pour les élèves de 2ème Bac. Ce document PDF détaillé vous aidera à maîtriser les concepts clés des fonctions exponentielles grâce à des explications théoriques, des exemples pratiques et des exercices corrigés. Les fonctions exponentielles sont des fonctions d'une grande importance en mathématiques et en sciences physiques. Elles apparaissent fréquemment dans les modèles de croissance, de décroissance, et dans la résolution d'équations différentielles. Ce cours présente les principales propriétés des fonctions exponentielles ainsi que leurs applications. Définition et Propriétés des Fonctions Exponentielles Définition La fonction exponentielle de base \(e\) est définie par : \(f(x) = e^x\) où \(e \approx 2,718\) est le nombre d'Euler. La fonction \(e^x\) es...

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels, introduite pour résoudre des équations qui n'ont pas de solution dans les réels. Un nombre complexe est de la forme \( z = a + ib \), où \( a \) et \( b \) sont des réels, et \( i \) est l'unité imaginaire définie par \( i^2 = -1 \). Les nombres complexes jouent un rôle central en mathématiques et en physique, notamment dans l'analyse des oscillations, les circuits électriques, et la mécanique quantique. Représentation Algébrique des Nombres Complexes Forme Algébrique Un nombre complexe \( z \) s'écrit sous la forme algébrique : \( z = a + ib \) où \( a \) est la partie réelle et \( b \) est la partie imaginaire de \( z \). La partie réelle correspond à la composante réelle du nombre complexe, tandis que la partie imaginaire est associée à la composante multiple de l'unité imaginaire \( i \). Égalité de Nombres Co...

Projection Sur une Droite Projection sur une droite (D) parallèlement à une droite (Delta). Soient (D) et (A) deux droites sécantes. Soient M et M' deux points du plan tels que \( d(M,D) = MM' \) et \( (MM') \perp (D) \). Le point \( M' \) s'appelle la projetée du point \( M \). Remarque Si \( M \in (A) \), alors le projeté de \( M \) sur (A) parallèlement à (D) est lui-même. On dit que le point \( M \) est invariant par projection . Cas particuliers : projection orthogonale. Définition Soient M et M' deux points du plan tels que \( M \in (D) \) et \( [MM'] \perp (D) \). Le point \( M' \) s'appelle la projetée orthogonale du point \( M \) sur (D). Théorème de Thalès 1- Théorème de Thalès Direct : Théorème Soient (D) et (D') deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de la droite (D) distincts de A. Soient B' et M' deux points de la droite (D') distincts de A. Si \( (BB') \parallel (MM') \...

L'ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) est ordonné. Cela signifie qu'on peut toujours dire si un nombre est plus grand ou plus petit qu'un autre. Cette capacité est cruciale pour analyser et comprendre la géométrie. I. Ordre et Opérations Activité Soient \( a \) un nombre réel . Comparons \( (a^2 + 1) \) et \( 2a \). On a : \( (a^2 + 1) - 2a = a^2 - 2a + 1 \geq 0 \) Donc, \( a^2 + 1 \geq 2a \) Définition On dit que \( a \) est inférieur ou égal à \( b \) si \( b - a \geq 0 \) et on écrit \( a \leq b \). On dit que \( a \) est supérieur ou égal à \( b \) si \( b - a \leq 0 \) et on écrit \( a \geq b \). On dit que \( a \) est strictement inférieur à \( b \) si \( b - a > 0 \) et on écrit \( a < b \). On dit que \( a \) est strictement supérieur à \( b \) si \( b - a < 0 \) et on écrit \( a > b \). Propriétés Soient \( a, b, c \) et \( d \) des nombres réels : ...