Cours Nombres Complexes: 2ème Bac
Les nombres complexes sont une extension des nombres réels, introduite pour résoudre des équations qui n'ont pas de solution dans les réels. Un nombre complexe est de la forme \( z = a + ib \), où \( a \) et \( b \) sont des réels, et \( i \) est l'unité imaginaire définie par \( i^2 = -1 \).
Les nombres complexes jouent un rôle central en mathématiques et en physique, notamment dans l'analyse des oscillations, les circuits électriques, et la mécanique quantique.
Représentation Algébrique des Nombres Complexes
Forme Algébrique
Un nombre complexe \( z \) s'écrit sous la forme algébrique :
\( z = a + ib \) où \( a \) est la partie réelle et \( b \) est la partie imaginaire de \( z \). La partie réelle correspond à la composante réelle du nombre complexe, tandis que la partie imaginaire est associée à la composante multiple de l'unité imaginaire \( i \).
Égalité de Nombres Complexes
Deux nombres complexes \( z_1 = a_1 + ib_1 \) et \( z_2 = a_2 + ib_2 \) sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales, c'est-à-dire \( a_1 = a_2 \) et \( b_1 = b_2 \).
Exemple :
Si \( z_1 = 3 + 4i \) et \( z_2 = 3 + 4i \), alors \( z_1 = z_2 \).
Si \( z_1 = 3 + 4i \) et \( z_2 = 3 - 4i \), alors \( z_1 \neq z_2 \) car leurs parties imaginaires sont différentes.
Opérations sur les Nombres Complexes
Addition et Soustraction
Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, on additionne ou soustrait séparément les parties réelles et les parties imaginaires :
\( z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2) \)
\( z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + i(b_1 - b_2) \)
Exemple :
Soit \( z_1 = 2 + 3i \) et \( z_2 = 1 + 4i \). Alors :
\( z_1 + z_2 = (2 + 1) + i(3 + 4) = 3 + 7i \)
\( z_1 - z_2 = (2 - 1) + i(3 - 4) = 1 - i \)
Multiplication
La multiplication de deux nombres complexes \( z_1 = a_1 + ib_1 \) et \( z_2 = a_2 + ib_2 \) est donnée par :
\( z_1 \times z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + b_1a_2) \)
Exemple :
Soit \( z_1 = 2 + i \) et \( z_2 = 3 + 4i \). Alors :
\( z_1 \times z_2 = (2 \times 3 - 1 \times 4) + i(2 \times 4 + 1 \times 3) = (6 - 4) + i(8 + 3) = 2 + 11i \)
Division
La division de deux nombres complexes \( z_1 = a_1 + ib_1 \) et \( z_2 = a_2 + ib_2 \) s'effectue en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de \( z_2 \) :
\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + ib_1)(a_2 - ib_2)}{a_2^2 + b_2^2} \)
Exemple :
Soit \( z_1 = 1 + 2i \) et \( z_2 = 3 - i \). Calculons \( \frac{z_1}{z_2} \) :
\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{(1 + 2i)(3 + i)}{3^2 + (-1)^2} = \frac{(3 + i + 6i - 2)}{10} = \frac{1 + 7i}{10} = 0,1 + 0,7i \)
Conjugué d'un Nombre Complexe
Le conjugué d'un nombre complexe \( z = a + ib \) est le nombre complexe \( \bar{z} = a - ib \). Il est utilisé pour simplifier certaines expressions complexes, notamment lors de la division.
Propriétés du Conjugué
- \( \overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} \)
- \( \overline{z_1 \times z_2} = \bar{z_1} \times \bar{z_2} \)
- \( \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}} \) (si \( z_2 \neq 0 \))
Exemple :
Soit \( z = 2 + 3i \), alors le conjugué de \( z \) est \( \bar{z} = 2 - 3i \).
Module d'un Nombre Complexe
Le module d'un nombre complexe \( z = a + ib \) est défini par :
\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Il représente la distance du point \( z \) à l'origine dans le plan complexe.
Exemple :
Soit \( z = 3 + 4i \), alors le module de \( z \) est :
\( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Forme Trigonométrique des Nombres Complexes
Un nombre complexe \( z = a + ib \) peut également être représenté sous sa forme trigonométrique :
\( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \)
où \( \theta \) est l'argument de \( z \), donné par \( \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \).
Exemple :
Soit \( z = 1 + i \), alors :
\( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
\( \theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} \)
La forme trigonométrique de \( z \) est :
\( z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \)
Questions fréquentes
Pour approfondir votre compréhension, voici quelques questions couramment posées :
Un nombre complexe est une extension des nombres réels, introduit pour résoudre des équations qui n'ont pas de solutions réelles. Il est de la forme :
\( z = a + bi \)
Où :
- \( a \) est la partie réelle.
- \( b \) est la partie imaginaire.
- \( i \) est l'unité imaginaire, définie par \( i^2 = -1 \).
La partie imaginaire d'un nombre complexe \( z = a + bi \) est simplement le coefficient \( b \) multiplié par l'unité imaginaire \( i \). Pour un nombre complexe donné, identifiez le terme devant \( i \) pour obtenir la partie imaginaire.
Pour un nombre complexe \( z = 3 + 4i \), la partie imaginaire est \( 4i \), et donc le coefficient de la partie imaginaire est \( 4 \).
La division des nombres complexes se fait en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Cette méthode permet de simplifier le dénominateur en un nombre réel :
Exemple : Diviser \( z_1 = 1 + 2i \) par \( z_2 = 3 - 4i \)
Solution :
- Multipliez \( z_1 \) et \( z_2 \) par le conjugué de \( z_2 \), soit \( 3 + 4i \).
- Calculez le produit : \( (1 + 2i)(3 + 4i) \).
- Simplifiez le dénominateur : \( z_2 \times \text{conjugué de } z_2 \).
- Exprimez le résultat sous la forme \( a + bi \).
L'impédance dans un circuit électrique est souvent représentée par un nombre complexe. Pour calculer ses parties réelles et imaginaires :
- La partie réelle correspond à la résistance pure du circuit.
- La partie imaginaire représente la réactance (inductive ou capacitive).
La forme complexe de l'impédance est généralement donnée par \( Z = R + jX \), où \( R \) est la résistance et \( X \) est la réactance.
La partie réelle d'un nombre complexe \( z = a + bi \) est simplement \( a \). Elle correspond à la projection de ce nombre sur l'axe des réels dans le plan complexe.
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