Applications de la Réduction des Endomorphismes

La réduction des endomorphismes simplifie le traitement des matrices complexes. Elle est particulièrement utile pour :

• Calculer les puissances \( A^n \) d'une matrice.
• Déterminer l'exponentielle \( e^A \) d'une matrice.
• Résoudre des systèmes d'équations différentielles linéaires.
• Étudier les suites récurrentes matricielles.

Calcul des Puissances de Matrices

Le calcul des puissances d'une matrice \( A \) peut être simplifié si \( A \) est mise sous forme de Jordan. Supposons que \( A \) est semblable à une matrice de Jordan \( J \), c'est-à-dire :

\[ A = PJP^{-1}, \]

où \( P \) est une matrice inversible et \( J \) est la forme de Jordan de \( A \). Alors, pour \( n \in \mathbb{N} \), on a :

\[ A^n = P J^n P^{-1}. \]

Puissance d'un Bloc de Jordan

Un bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) associé à une valeur propre \( \lambda \) est de la forme :

\[ J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}. \]

La puissance \( n \)-ième d'un tel bloc est donnée par :

\[ J_k(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \cdots & \binom{n}{k-1}\lambda^{n-k+1} \\ 0 & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \cdots & \binom{n}{k-2}\lambda^{n-k+2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & \cdots & \binom{n}{k-3}\lambda^{n-k+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}. \]

Les coefficients hors diagonale dépendent des coefficients binomiaux et de la puissance de \( \lambda \).

Exemple :

Soit la matrice triangulaire supérieure suivante :

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]

Sa forme de Jordan est :

\[ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]

La puissance \( A^3 \) est donnée par :

\[ J^3 = \begin{pmatrix} 2^3 & 3 \cdot 2^2 & 3 \cdot 2 \\ 0 & 2^3 & 3 \cdot 2^2 \\ 0 & 0 & 2^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 12 & 6 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}. \]

Calcul de l'Exponentielle d'une Matrice

L'exponentielle d'une matrice \( A \) est définie par la série de Taylor suivante :

\[ e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}. \]

Lorsque \( A \) est mise sous forme de Jordan \( A = PJP^{-1} \), on a :

\[ e^A = P e^J P^{-1}. \]

Exponentielle d'un Bloc de Jordan

Pour un bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \), l'exponentielle est donnée par :

\[ e^{J_k(\lambda)} = e^\lambda \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{1!} & \frac{1}{2!} & \cdots & \frac{1}{(k-1)!} \\ 0 & 1 & \frac{1}{1!} & \cdots & \frac{1}{(k-2)!} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{1}{(k-3)!} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Exemple :

Soit la matrice \( A \) donnée précédemment. Son exponentielle est calculée comme suit :

\[ e^J = \begin{pmatrix} e^2 & e^2 & \frac{1}{2}e^2 \\ 0 & e^2 & e^2 \\ 0 & 0 & e^2 \end{pmatrix}. \]

Résolution de Systèmes d'Équations Différentielles

Considérons un système d'équations différentielles linéaires de la forme :

\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}, \]

où \( \mathbf{x}(t) \) est un vecteur colonne de dimension \( n \) et \( A \) est une matrice \( n \times n \).

Solution Générale

La solution générale de ce système est donnée par :

\[ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0), \]

où \( e^{At} \) est l'exponentielle matricielle associée à \( A \).

Calcul de \( e^{At} \) avec la Réduction de Jordan

Si \( A \) est mise sous forme de Jordan, c'est-à-dire \( A = PJP^{-1} \), alors :

\[ e^{At} = P e^{Jt} P^{-1}. \]

L'exponentielle de chaque bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) est donnée par :

\[ e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t} \begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2!} & \cdots & \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \frac{t^{k-2}}{(k-2)!} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{t^{k-3}}{(k-3)!} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Exemple :

Résolvons le système suivant :

\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \mathbf{x}. \]

La forme de Jordan est déjà donnée. L'exponentielle matricielle est :

\[ e^{At} = \begin{pmatrix} e^{2t} & te^{2t} \\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix}. \]

La solution générale est donc :

\[ \mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} e^{2t} & te^{2t} \\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix} \mathbf{x}(0). \]

Étude des Suites Récurrentes

Une suite récurrente linéaire d'ordre \( n \) peut être représentée sous forme matricielle. Considérons une suite récurrente définie par :

\[ \mathbf{u}_{k+1} = A\mathbf{u}_k, \]

où \( \mathbf{u}_k \) est un vecteur colonne représentant les termes successifs de la suite, et \( A \) est une matrice carrée.

Expression de \( \mathbf{u}_k \)

Par récurrence, on obtient :

\[ \mathbf{u}_k = A^k \mathbf{u}_0, \]

où \( \mathbf{u}_0 \) est le vecteur initial.

Utilisation de la Réduction de Jordan

Si \( A = PJP^{-1} \), alors :

\[ A^k = P J^k P^{-1}. \]

Chaque bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) a sa puissance donnée par :

\[ J_k(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \cdots & \binom{n}{k-1}\lambda^{n-k+1} \\ 0 & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \cdots & \binom{n}{k-2}\lambda^{n-k+2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & \cdots & \binom{n}{k-3}\lambda^{n-k+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}. \]

Exemple :

Considérons la suite récurrente suivante :

\[ u_{k+1} = 2u_k + 3v_k, \quad v_{k+1} = u_k + 4v_k. \]

Elle peut être représentée sous forme matricielle :

\[ \mathbf{u}_{k+1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \mathbf{u}_k. \]

La solution générale est donnée par :

\[ \mathbf{u}_k = A^k \mathbf{u}_0, \]

où \( A \) est mise sous forme de Jordan pour simplifier le calcul de \( A^k \).

Applications

• Résolution des systèmes linéaires d'équations différentielles.
• Étude des suites récurrentes d'ordre supérieur.
• Analyse des comportements asymptotiques de suites et systèmes.