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Quiz : Formule de Taylor et extrémums Commencer le Quiz Ce quiz de mathématiques est une excellente occasion de tester vos connaissances ! Chaque question a des réponses simples à choisir. Prenez votre temps et amusez-vous. Temps restant : 60 s 1. Quelle est la formule de Taylor d'ordre 2 pour une fonction \( f \) autour de \( a \) ? ⭐ \( f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)^2 \). \( f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2 \). \( f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a) \). \( f(x) = f(a) + f'(a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a) \). Afficher un indice L'ordre de la formule détermine l'existence du terme en \( (x - a)^2 \) et des dérivées de la fonction. Temps restant : 60 s 2. Quelle est la condition nécessaire pour que \( f \) ait un extremum local en \( a \) ? ⭐⭐ \( f'(a) = 0 \). \( f(a) = 0 \). \( f'(a) = 1 \). \( ...

En algèbre linéaire , la dualité est un concept clé qui établit un lien entre un espace vectoriel et son espace dual. Elle trouve des applications dans de nombreux domaines, notamment la géométrie, l'analyse fonctionnelle et la théorie des représentations. Dans cette section, nous explorerons les notions de formes linéaires, d'hyperplans, des bases duales en dimension finie et du bidual. Formes linéaires Une forme linéaire est une application linéaire définie sur un espace vectoriel \( E \) à valeurs dans le corps \( K \) des scalaires. Mathématiquement, une forme linéaire \( f \) satisfait la propriété suivante : \[ f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v), \quad \forall u, v \in E \text{ et } \forall \alpha, \beta \in K. \] L'ensemble des formes linéaires sur \( E \) constitue l' espace dual , noté \( E^* \). Cet espace est de dimension égale à celle de \( E \) lorsque \( E \) est de dimension finie. Exemples de formes linéaires D...

Quiz : Différentiabilité des fonctions Commencer le Quiz Ce quiz de mathématiques est une excellente occasion de tester vos connaissances ! Chaque question a des réponses simples à choisir. Prenez votre temps et amusez-vous. Temps restant : 60 s 1. Qu'est-ce qu'une fonction dérivable ? ⭐ Une fonction continue en chaque point de son domaine. Une fonction qui a une limite finie en chaque point. Une fonction qui admet une dérivée en chaque point de son domaine. Une fonction qui admet une intégrale sur son domaine. Afficher un indice Une fonction dérivable implique l'existence d'une dérivée dans le domaine de la fonction. Temps restant : 60 s 2. Quel est le lien entre continuité et différentiabilité ? ⭐⭐ Si une fonction est dérivable en un point, elle est nécessairement continue en ce point. Une fonction continue est forcément dérivable en tout point de son domaine. Une ...

La réduction des endomorphismes simplifie le traitement des matrices complexes . Elle est particulièrement utile pour : Calculer les puissances \( A^n \) d'une matrice. Déterminer l' exponentielle \( e^A \) d'une matrice. Résoudre des systèmes d'équations différentielles linéaires . Étudier les suites récurrentes matricielles . Calcul des Puissances de Matrices Le calcul des puissances d'une matrice \( A \) peut être simplifié si \( A \) est mise sous forme de Jordan . Supposons que \( A \) est semblable à une matrice de Jordan \( J \), c'est-à-dire : \[ A = PJP^{-1}, \] où \( P \) est une matrice inversible et \( J \) est la forme de Jordan de \( A \). Alors, pour \( n \in \mathbb{N} \), on a : \[ A^n = P J^n P^{-1}. \] Puissance d'un Bloc de Jordan Un bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) associé à une valeur propre \( \lambda \) est de la forme : \[ J_k(\lambda) = \...

Quiz : Espaces vectoriels, normes et topologie/h2> Commencer le Quiz Ce quiz de mathématiques est une excellente occasion de tester vos connaissances ! Chaque question a des réponses simples à choisir. Prenez votre temps et amusez-vous. Temps restant : 60 s 1. Quelle est la définition d'un espace vectoriel ? ⭐ Un ensemble avec une opération de produit scalaire et une norme. Un ensemble muni de deux opérations : addition et multiplication par un scalaire. Un ensemble d'éléments où l'addition n'est pas associative. Un ensemble où chaque vecteur est divisible par un scalaire. Afficher un indice Il y a deux opérations essentielles à vérifier : addition et multiplication par un scalaire. Temps restant : 60 s 2. Quelle est la norme de \( \vec{v} = (3, 4) \) dans \( \mathbb{R}^2 \) ? ⭐⭐ \( \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \). \( \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \). \( 7 \). \( 25 \). ...

Angle inscrit et angle au centre Angle inscrit Définition   Dans un cercle, chaque angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent ce cercle est appelé angle inscrit . Exemple  \( \angle EFM \) : un angle inscrit qui intercepte l'arc \( \widehat{EM} \) \( \angle NFE \) : un angle inscrit qui intercepte l'arc \( \widehat{EF} \) \( \angle DFM \) : un angle inscrit qui intercepte l'arc \( \widehat{FM} \) Angle au centre Définition  Dans un cercle, chaque angle dont le sommet est le centre du cercle est appelé angle au centre . Exemple : \( \angle EAM \) : un angle au centre qui intercepte l'arc \( \widehat{EM} \) \( \angle FAE \) : un angle au centre qui intercepte l'arc \( \widehat{EF} \) \( \angle FAM \) : un angle au centre qui intercepte l'arc \( \widehat{FM} \) L'angle au centre correspo...

Quiz : Résolution numérique et Interpolation Commencer le Quiz Ce quiz de mathématiques est une excellente occasion de tester vos connaissances ! Chaque question a des réponses simples à choisir. Prenez votre temps et amusez-vous. Temps restant : 60 s 1. Quelle est la méthode de résolution numérique basée sur la recherche d'un point fixe d'une fonction ? ⭐ La méthode des itérations successives. La méthode de Newton-Raphson. La méthode de la bissectrice. La méthode de Lagrange. Afficher un indice Cette méthode utilise une fonction \( g(x) \) telle que \( g(x^*) = x^* \). Temps restant : 60 s 2. Quelle est la condition nécessaire pour appliquer la méthode de la bissectrice ? ⭐ La fonction doit être dérivable sur l'intervalle considéré. La fonction doit être croissante. La fonction doit être continue sur l'intervalle considéré. La fonction doit être paire. A...

Définitions Dans un triangle rectangle, les rapports trigonométriques de l'angle aigu \( \text{A} \) sont définis comme suit : Cosinus : \( \cos \text{A} = \frac{\text{côté adjacent à A}}{\text{hypoténuse}} \) Sinus : \( \sin \text{A} = \frac{\text{côté opposé à A}}{\text{hypoténuse}} \) Tangente : \( \tan \text{A} = \frac{\text{côté opposé à A}}{\text{côté adjacent à A}} \) Ces définitions sont essentielles pour résoudre les problèmes de trigonométrie dans un triangle rectangle. Exemple : Calcul d'un rapport trigonométrique Considérons un triangle rectangle où : \( \text{côté adjacent à A} = 3 \) \( \text{côté opposé à A} = 4 \) \( \text{hypoténuse} = 5 \) Calculons \( \cos \text{A} \), \( \sin \text{A} \), et \( \tan \text{A} \) : \( \cos \text{A} = \frac{3}{5} \) \( \sin \text{A} = \frac{4}{5} \) \( \tan \text{A} = \frac{4}{3} \) Rapport Trigonomét...

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Quiz : Développement limité et approximation Commencer le Quiz Ce quiz de mathématiques est une excellente occasion de tester vos connaissances ! Chaque question a des réponses simples à choisir. Prenez votre temps et amusez-vous. Temps restant : 60 s 1. Qu'est-ce qu'un développement limité d'ordre \( n \) pour une fonction \( f \) autour d'un point \( a \) ? ⭐ Une somme infinie des dérivées de \( f \) en \( a \). Une méthode pour calculer les limites de \( f(x) \) à l'infini. Une approximation polynomiale de \( f \) utilisant les dérivées jusqu'à l'ordre \( n \) en \( a \). Une représentation graphique exacte de \( f \). Afficher un indice Le développement limité est une approximation locale utilisant les dérivées successives. Temps restant : 60 s 2. Quel est le développement limité de \( e^x \) à l'ordre 2 autour de \( x = 0 \) ? ⭐ \( 1 + x^2 \). \( x + \...

Bienvenue dans ce cours de mathématiques dédié à l' ordre et opérations pour les élèves de 3ème année collège . Ce chapitre couvre les notions fondamentales sur la comparaison des nombres , les règles d'addition , de soustraction , de multiplication et de division des nombres rationnels . Vous apprendrez également à utiliser des propriétés comme l'encadrement et à manipuler efficacement les inégalités pour résoudre des problèmes.  La comparaison Notation et définition Symboles Signification \(a < b\) \(a\) est strictement inférieur à \(b\). \(a \leq b\) \(a\) est inférieur ou égal à \(b\). \(a > b\) \(a\) est strictement supérieur à \(b\). \(a \geq b\) ...